En Matemáticas se define un vector como un elemento de un
espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un
espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano
o en el espacio
.
Algunos ejemplos de magnitudes físicas que son magnitudes vectoriales: la
velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan solo por su módulo que es lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil, sino que se requiere indicar la dirección (hacia donde se dirige); la
fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende además de su magnitud o módulo, de la dirección en la que actúa; también, el
desplazamiento de un objeto, pues es necesario definir el punto inicial y final del movimiento.
Se llama
vector de dimensión
a una
tulpa de
números reales (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de
dimensión se representa como
(formado mediante el
producto cartesiano).
Así, un vector
perteneciente a un espacio
se representa como:
(left)
, donde 
Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la
geometría como
vector geométrico (usando frecuentemente el espacio tridimensional
ó bidimensional
).
Un vector fijo del plano euclídeo es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:
[1] [2] [3]
- módulo: la longitud del segmento
- dirección: la orientación de la recta
- sentido: indica cual es el origen y cual es el extremo final de la recta
En inglés, la palabra "dirección" indica tanto la dirección como el sentido del vector, con lo que se define el vector con solo dos características: módulo y dirección.
[4]
Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por ejemplo
, que indican su origen y extremo respectivamente.
Características de un vector[editar]
Un vector se puede definir por sus
coordenadas, si el vector esta en el plano xy, se representa:
siendo sus coordenadas:
Si consideramos el triángulo formado por las componentes
(como catetos) y
(como hipotenusa): se puede calcular
multiplicando
por el
cosα (siendo
α el ángulo formado por
y
) o multiplicando
por el
senβ (siendo
β el ángulo formado por
y
). De igual forma se puede calcular
multiplicando
por el
senα o multiplicando
por el
cosβ (considerando las posiciones de
α y
β mencionadas anteriormente).
Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:
Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se puede representar:
siendo sus coordenadas:
Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar la recta soporte o
dirección, sobre la que se traza el vector.
El
módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.
El
sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.
El
punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorial representado por el vector.
El
nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.
Por lo tanto en un vector podemos diferenciar:
- Nombre
- Dirección
- Sentido
- Módulo
- Punto de aplicación
Clasificación de vectores
Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o
equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:
- Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.
- Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.
- Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.
Podemos referirnos también a:
- Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.
- Vectores concurrentes o angulares: son aquellas cuyas direcciones o líneas de acción pasan por un mismo punto. También se les suele llamar angulares porque forman un ángulo entre ellas.
- Vectores opuestos: vectores de igual magnitud y dirección, pero sentidos contrarios.[1] En inglés se dice que son de igual magnitud pero direcciones contrarias, ya que la dirección también indica el sentido.
- Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.
- Vectores paralelos: si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción son paralelas.
- Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).
Componentes de un vector
Un vector en el espacio euclídeo tridimensional se puede expresar como una
combinación lineal de tres
vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una
base vectorial.
En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por
,
,
, paralelos a los ejes de coordenadas
x,
y,
z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:
o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será
Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores
ax,
ay,
az, son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son
números reales.
Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un
vector columna o un
vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones
matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:
![\mathbf{a} = \begin{bmatrix}
a_x\\
a_y\\
a_z\\
\end{bmatrix}
\qquad
\mathbf{a} = [ a_x\ a_y\ a_z ]](https://upload.wikimedia.org/math/c/0/2/c02407847783cfc5ef04e2c0adbbb3d6.png)
Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:
![{\mathbf i} = [1\ 0\ 0],\ {\mathbf j} = [0\ 1\ 0],\ {\mathbf k} = [0\ 0\ 1]](https://upload.wikimedia.org/math/0/d/e/0deb3595fd231616d7001755bb3c5430.png)
El
lema de Zorn, consecuencia del
axioma de elección, permite establecer que todo espacio vectorial admite una
base vectorial, por lo que todo vector es representable como el producto de unas componentes respecto a dicha base. Dado un vector solo existen un número finito de componentes diferentes de cero.
Representación gráfica de los vectores
Aunque hay quien no recomienda el uso de
gráficos para evitar la confusión de conceptos y la inducción al error, sin investigación que lo corrobore, también es cierto que la memoria se estimula con mejores resultados. Para ello:
- Se llama vector a la representación visual con el símbolo de flecha( un segmento y un triángulo en un extremo).
- La rectitud visual de una flecha o curvatura de la misma, no la hace diferente en símbolo si los dos extremos permanecen en el mismo lugar y orden.
- El que una flecha cierre en sí misma, indica la ausencia de efectos algebraicos.
- Para visualizar la suma de vectores se hará encadenándolos, es decir, uniendo el extremo que tiene un triángulo (final) del primer vector con el extremo que no lo tiene (origen) del segundo vector manteniendo la dirección y distancia, propias al espacio, de sus dos extremos, ya que estas dos cualidades los distingue visualmente de otros vectores.
- Los escalares se representarán con una línea de trazos a modo, exclusivamente, de distinción ya que no siempre pertenecen al espacio de vectores.
Se examinan cada uno de los casos que aparecen en la definición de las operaciones suma de vectores y producto por un escalar:
VECTORES EN DOS DIMENSIONES (DEFINICION)
Vectores
Un vector fijo 
es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).
Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.
Módulo del vector 
Es la longitud del segmento AB, se representa por 
.
Dirección del vector
Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
Sentido del vector
El que va del origen A al extremo B.
Vectores equipolentes
Dos vectores son equipolentes cuando tienen igualmódulo, dirección y sentido.
Vector libre
El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo es un representante delvector libre.
Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas
El vector
que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.
Coordenadas de un vector en el plano
Si las coordenadas de A y B son:
Las coordenadas o componentes del vector
son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.
Módulo de un vector
Si las coordenadas de A y B son:
Las coordenadas o componentes del vector
son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.
Si tenemos las componentes de un vector:
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.
Vector unitario
Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.
Suma de vectores
Para sumar dos vectores libres
y
se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.
Regla del paralelogramo
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
Resta de vectores
Para restar dos vectores libres
y se suma
con el opuesto de
. Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.
Producto de un número por un vector
El producto de un número k por un vector
es otro vector:
De igual dirección que el vector
.
Del mismo sentido que el vector
si k es positivo.
De sentido contrario del vector
si k es negativo.
De módulo
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.
Coordenadas del punto medio de un segmento
Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos.
Condición para qué tres puntos estén alineados
Los puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados
siempre que los vectores
tengan la misma dirección
. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales.
Simétrico de un punto respecto de otro
Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA'. Por lo que se verificará igualdad:
Coordenadas del baricentro
Baricentro o centro de gravedad de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas.
Las coordenadas del baricentro son:
División de un segmento en una relación dada
Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:
VECTORES EN TRES DIMENSIONES (DEFINICION)
VECTORES EN EL ESPACIO
Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.
Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).
Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.
Vector en el espacio
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.
Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de A y B son: A(x
1, y
1, z
1) y B(x
2, y
2, z
2) Las coordenadas o componentes del vector
son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.
Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).
Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulotiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes
Dados los vectores
y
, hallar los módulos de
y
·
Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.
Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).
Vector unitario
Un vector unitario tiene de módulo la unidad.
La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.
Estos dos conjuntos muestran 2 elementos que no pueden tener nada en común.
Hay otro tipo de diagrama de Venn, que son los que tienen una zona en común entre los conjuntos A y B, y esta zona se llama intersección (inter).
