problemas resueltos

Problemas

Problema 1

La figura adjunta es el plano de un are recreativa que se va a construir al horizonte de la ciudad. tiene la forma de un cuadrado de área= 7225 metros cuadrados.

                               

PROCEDIMIENTO

1.-Hay que saber el lado del cuadrado al aplicar la raíz cuadrada del 7225 que sale 85

en seguida vemos el circulo mas pequeño que tiene un diámetro de 85 y un radio de 42.5 por lo que sacamos el área de circulo.

donde sale 5674.50 que seria el area del circulo mas chico

formamos un cuadrado dentro de le circulo mas pequeño y le sacamos su area (el mas grande)

necesitas tener en cuenta las funciones trigonométricas cos0=cateto ady/hip

entonces ya tenemos la hipotenusa y como ya sabemos que el cuadrado esta compuesto por 4 ángulos rectos solo lo partimos a la y formamos un triangulo  y sale 60.10 (despega la formula lo que quieres encontrar es el cateto adyacente).

con estos datos ya puedes sacar el área del cuadrado que es lado* lado (60.10*60.10)=3612.01

entonces solo restas esta area al circulo y las secciones que te queden la divides entre 4 (5674.50-3612.01= 262.49/4=515.62 ) guarda ese dato

segunda parte

sacamos el área del circulo grande que sabemos que su radio de 85 por lo que aplicamos la fórmula para el área de un circulo

pi*r(cuadrada)           3.1416*85*85=22698 y lo divides entre 8 para tener el área sombreada que es una octava parte del circulo por lo que lo dividimos entre 8 y sale =2837 a esa área se le resta el dato guardado del circulo pequeño y nos da como resultado el área sombreada que es = 2324.63

Problema 2

  en la figura, las dos circunferencias tienen un radio de 20 cm cada una y son tangentes entre si.

 necesitamos sacar el área de las partes sombreadas el radio por 2 que seria 40 (40*40=1600 cm2)ahora sacamos el área de uno de los dos círculos sabiendo que en el cuadrado se encuentra la mitad de cada uno y que son simétricos entre si.

con la formula del circulo pi*r*r= 1256.64 cm2

esa area se le resta al area del cuadrado y ya que sera 

1600-1256.64=343.36 cm2

Problema 3

El area del cuadrado menor es 81in2. determina el area del circulo y cuadrado mayor.

sabiendo la formula de la diagonal la despejamos para lograr obtener la siguente formula 

d=raiz (area*2)= 12.72

ahora sacamos el area del circulo sabiendo esta diagonal

area = pi*r2= 3.1416*6.36*6.36=127.078

el area del cuadrado grande se saca sabiendo que la diagonal representa un lado del cuadrado

L*L=(12.72*12.72)=161.94

Problema 4

Usamos el funciones trigonométricas para sacar los lados sabiendo que dos de sus lados seran iguales

cos0=c.ady/hip 

 despegando quedaría

cos0*hip=c.ady

sabemos que es un triangulo rectángulo por lo que sus  ángulos son de 90,45,45

por lo que queda

(cos(45))*12=8.48 in2

Problema 5

objetivo

calcula el volumen

largo * ancho *altura

NOTA TIENES QUE VERLAS COMO FIGURAS INDEPENDIENTES

150000

si la pieza es perforada 2 veces por un taladro que hace unos agujeros de 8 unidades de diámetro y 1

 unidades de espesor

v de los cilindros es 1005.30 u3

y se lo restamos al total 148994.7 u3

y si el diámetro es de 20

multiplicas el de arriba por 2

que sale 2010.6

que se le resta al volumen total

y sale 147989.4

Angulos

Clasificación de ángulos según su medida

Agudo < 90°

Recto = 90°

Obtuso > 90°

Convexo < 180°

Llano = 180°

Cóncavo > 180°

Nulo = 0º

Completo = 360°

Negativo < 0º

Mayor de 360°

2 Tipos de ángulos según su posición

2.1.Ángulos consecutivos

Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.

2.2.Ángulos adyacentes

Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro. Forman un ángulo llano.

2.3. Ángulos opuestos por el vértice:

Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.

Los ángulos 1 y 3 son iguales.

Los ángulos 2 y 4 son iguales.

3 Clases de ángulos según su suma

3.1.Ángulos complementarios:

Dos ángulos son complementarios si suman 90°.

3.2. Ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.

4 Ángulos entre paralelas y una recta transversal

4.1. Ángulos correspondientes

Los ángulos 1 y 2 son iguales.

4.2. Ángulos alternos internos

Los ángulos 2 y 3 son iguales.

4.3. Ángulos alternos externos

Los ángulos 1 y 4 son iguales.

5 Ángulos en la circunferencia

5.1. Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.>

      

5.2. Ángulo inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

     

5.3. Ángulo semiinscrito

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

     

5.4. Ángulo interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

     

5.5. Ángulo exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella.

 

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.

     

6 Ángulos de un polígono regular

6.1. Ángulo central de un polígono regular

Es el formado por dos radios consecutivos.

Ejemplo:

Si n es el número de lados de un polígono:

Ángulo central = 360° : n

Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º

6.2. Ángulo interior de un polígono regular

Es el formado por dos lados consecutivos.

Ángulo interior = 180° − Ángulo central

Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º

6.3. Ángulo exterior de un polígono regular

Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º.

Ángulo exterior = Ángulo central

Ángulo exterior del pentágono regular = 72º

Teorema de pitagotas

Teorema de Pitágoras

Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)... ... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ... ¡el cuadrado más grande tieneexactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!

El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2

¿Seguro... ?

Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.

Veamos si las áreas son la misma: 32 + 42 = 52 Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25 ¡sí, funciona!

¿Por qué es útil esto?

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)

¿Cómo lo uso?

Escríbelo como una ecuación:

a2 + b2 = c2

Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:

a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 25 + 144 = 169 c2 = 169 c = √169 c = 13

a2 + b2 = c2 92 + b2 = 152 81 + b2 = 225 Resta 81 a ambos lados b2 = 144 b = √144 b = 12

La sección áurea

La regla o sección áurea es una proporción entre medidas. Se trata de la división armónica de una recta en media y extrema razón. Esto hace referencia a que el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad de la recta. O cortar una línea en dos partes desiguales de manera que el segmento mayor sea a toda la línea, como el menor es al mayor.

De esta forma se establece una relación de tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y menor, esto es un resultado similar a la media y extrema razón. Esta proporción o forma de seleccionar proporcionalmente una línea se llama proporción áurea, se adopta como símbolo de la sección áurea (Æ), y la representación en números de esta relación de tamaños se llama número de oro = 1,618.

A lo largo de la historia de las artes visuales han surgido diferentes teorías sobre la composición. Platón decía: es imposible combinar bien dos cosas sin una tercera, hace falta una relación entre ellas que los ensamble, la mejor ligazón para esta relación es el todo. La suma de las partes como todo es la más perfecta relación de proporción.

Vitruvio, importante arquitecto romano, acepta el mismo principio pero dice que la simetría consiste en el acuerdo de medidas entre los diversos elementos de la obra y estos con el conjunto. Inventó una fórmula matemática, para la división del espacio dentro de un dibujo, conocida como la sección áurea, y se basaba en una proporción dada entre los lados mas largos y los más cortos de un rectángulo. Dicha simetría está regida por un modulo común, que es el número. Definido de otra forma, bisecando un cuadro y usando la diagonal de una de sus mitades como radio para ampliar las dimensiones del cuadrado hasta convertirlo en "rectángulo áureo". Se llega a la proporción a:b = c:a.

Dicho esto, y según Vitruvio, se analiza que al crear una composición, si colocamos los elementos principales del diseño en una de las líneas que dividen la sección áurea, se consigue el equilibrio entre estos elementos y el resto del diseño.

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